پاسخ فعالیت صفحه 73 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 73 هفتم - فعالیت 1 این تمرین به شما کمک می‌کند تا مفهوم **حجم** را که یک مفهوم هندسی است، با ابزارهای **جبر** که در فصل‌های قبل یاد گرفتید، پیوند بزنید. ### **توضیح رابطه حجم مکعب مستطیل** همانطور که در دبستان آموختید، برای محاسبه حجم یک مکعب مستطیل (که به آن **منشور مستطیلی** هم می‌گوییم)، کافی است سه بُعد آن را در هم ضرب کنیم: $$\text{حجم} = \text{طول} \times \text{عرض} \times \text{ارتفاع}$$ ### **نوشتن رابطه‌ی جبری** در تصویر کنار سوال، سه بُعد مکعب مستطیل با حروف انگلیسی مشخص شده‌اند: * **طول:** $a$ * **عرض:** $b$ * **ارتفاع:** $c$ * **حجم** با حرف $\text{V}$ (مخفف Volume) نشان داده شده است. پس، با جایگزین کردن این نمادها در فرمول کلامی، رابطه‌ی جبری حجم به صورت زیر نوشته می‌شود: $$V = a \times b \times c$$ یا به شکل ساده‌تر (چون بین متغیرها علامت ضرب معمولاً حذف می‌شود): $$V = abc$$ > **نکته آموزشی:** استفاده از حروف **(متغیرها)** به جای اعداد، به ما کمک می‌کند تا یک فرمول **کلی** برای هر مکعب مستطیلی، با هر ابعادی بنویسیم. این همان قدرت جبر است!

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 73 هفتم - فعالیت 2 این سوال درباره‌ی محاسبه حجم مکعب مستطیل و درک واحد حجم است. بیایید با دقت مراحل حل را طی کنیم. ### **بخش اول: محاسبه حجم مکعب مستطیل ($2 \times 4$) با ارتفاع 2 سانتی‌متر** **گام 1: تحلیل ابعاد مکعب مستطیل** * **طول:** قاعده از $4$ مربع یک سانتی‌متری تشکیل شده است. پس طول برابر $4$ سانتی‌متر است. * **عرض:** قاعده از $2$ مربع یک سانتی‌متری تشکیل شده است. پس عرض برابر $2$ سانتی‌متر است. * **ارتفاع:** طبق صورت سوال، ارتفاع برابر $2$ سانتی‌متر است. **گام 2: محاسبه حجم** حجم یک مکعب مستطیل (منشور مستطیلی) برابر است با: **طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع**. * حجم $= \text{طول} \times \text{عرض} \times \text{ارتفاع}$ * حجم $= 4 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}$ * حجم $= 16 \text{ cm}^3$ > **نتیجه:** حجم این مکعب مستطیل **$16$ سانتی‌متر مکعب ($16 \text{ cm}^3$)** می‌شود. *** ### **بخش دوم: محاسبه حجم مکعب مستطیل ($3 \times 4$) با همان ارتفاع** این بار، قاعده تغییر کرده اما ارتفاع ثابت مانده است. **گام 1: تحلیل ابعاد جدید** * **طول:** $4$ سانتی‌متر * **عرض:** $3$ سانتی‌متر * **ارتفاع:** همان ارتفاع قبلی، یعنی $2$ سانتی‌متر **گام 2: محاسبه حجم جدید** * حجم $= \text{طول} \times \text{عرض} \times \text{ارتفاع}$ * حجم $= 4 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}$ * حجم $= 24 \text{ cm}^3$ > **نتیجه:** اگر قاعده‌ی مکعب مستطیل $3 \times 4$ باشد و ارتفاع $2$ سانتی‌متر، حجم آن **$24$ سانتی‌متر مکعب ($24 \text{ cm}^3$)** می‌شود. **نکته کلیدی:** واحد اندازه‌گیری حجم، همیشه **مکعب** واحد طول است (مثل سانتی‌متر مکعب یا متر مکعب) چون ضرب سه بعد (طول، عرض، ارتفاع) را نشان می‌دهد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 73 هفتم - فعالیت 3 این سوال بر مفهوم **حجم به عنوان تعداد مکعب‌های واحد** تأکید دارد. حجم هر شکل از شمردن تعداد مکعب‌های کوچک یکسان (که به آن‌ها **مکعب واحد** می‌گوییم) که آن شکل را ساخته‌اند، به دست می‌آید. بیایید تعداد مکعب‌های هر شکل را بشماریم: ### **شکل اول: ساختار پلکانی (آبی رنگ)** این شکل یک ساختار پلکانی چهار طبقه است. برای شمردن دقیق، از پایین‌ترین طبقه شروع می‌کنیم و تعداد مکعب‌های هر طبقه را می‌شماریم: 1. **طبقه اول (پایین‌ترین):** این طبقه شامل یک مربع $3 \times 3$ است. * تعداد مکعب‌ها: $3 \times 3 = 9$ مکعب 2. **طبقه دوم:** این طبقه شامل یک مربع $2 \times 2$ است که روی $4$ مکعب مرکزی طبقه اول قرار گرفته است. * تعداد مکعب‌ها: $2 \times 2 = 4$ مکعب 3. **طبقه سوم:** این طبقه شامل $2$ مکعب است که روی $2$ مکعب مرکزی طبقه دوم قرار گرفته است. (به نظر می‌رسد یک ردیف $1 \times 2$ است) * تعداد مکعب‌ها: $2$ مکعب 4. **طبقه چهارم (بالاترین):** این طبقه شامل $1$ مکعب است که روی مکعب مرکزی طبقه سوم قرار گرفته است. * تعداد مکعب‌ها: $1$ مکعب **حجم کل (جمع تعداد مکعب‌ها):** $9 + 4 + 2 + 1 = 16$ مکعب واحد *** ### **شکل دوم: منشور (فیروزه‌ای رنگ)** این شکل به نظر می‌رسد یک **منشور مثلث‌القاعده** است که با برش یک مکعب مستطیل بزرگ به دست آمده است. برای شمردن مکعب‌های واحد: * **ابعاد قاعده:** قاعده شکل یک مربع $4 \times 4$ است. * تعداد کل مکعب‌های قاعده اگر کامل بود: $4 \times 4 = 16$ مکعب * **شکل:** این شکل نیمی از آن مکعب مستطیل $4 \times 4$ است که قطر قاعده آن را تقسیم کرده است. با شمارش مکعب‌ها در هر ردیف: * ردیف اول (کامل): $4$ مکعب * ردیف دوم: $3$ مکعب * ردیف سوم: $2$ مکعب * ردیف چهارم: $1$ مکعب **حجم کل (جمع تعداد مکعب‌ها):** $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ مکعب واحد *** ### **شکل سوم: ساختار U شکل (سبز زیتونی)** این ساختار یک $\text{U}$ شکل است که دارای دو طبقه است. 1. **طبقه اول (پایین‌ترین):** * دو بازوی کناری ($1 \times 3$): $3$ مکعب * بازوی وسطی (قسمت متصل‌کننده): $4$ مکعب * تعداد مکعب‌ها در طبقه اول: $(1 \times 3) + 4 + (1 \times 3) = 10$ مکعب (شمارش دیگر: کل $3 \times 4 = 12$ مکعب، منهای $2$ مکعب وسطی حذف شده: $12 - 2 = 10$) 2. **طبقه دوم (بالاترین):** شکل و تعداد مکعب‌های آن دقیقاً مشابه طبقه پایین است. * تعداد مکعب‌ها در طبقه دوم: $10$ مکعب **حجم کل (جمع تعداد مکعب‌ها):** $10 + 10 = 20$ مکعب واحد | شکل | تعداد مکعب واحد (حجم) | | :--- | :--- | | ساختار پلکانی (آبی) | $16$ | | منشور (فیروزه‌ای) | $10$ | | ساختار U شکل (سبز زیتونی) | $20$ |